杨辉三角第9行第4个数值的数学推导与解析

一、 问题界定与索引规范

在中学数学教材及组合数学的标准表述中，杨辉三角的行序通常采用自然数从1开始计数的惯例。第1行为 1，第2行为 1 1，第3行为 1 2 1，依此类推。若以组合数 $\binom{n}{k}$ 表示，则第 $r$ 行第 $c$ 个数（行、列均从1开始计数）严格对应组合数 $\binom{r-1}{c-1}$。本题所求为第9行第4个数，即 $r=9, c=4$，对应组合数 $\binom{8}{3}$。

二、 组合数学原理与计算过程

杨辉三角的本质是二项式系数在几何排列中的呈现。其第 $n$ 行（0-indexed）的第 $k$ 项（0-indexed）由公式 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 给出。代入本题参数：

$$ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 $$

计算过程可直接拆解为：分子取8的前3个递减整数相乘，分母为3的阶乘，约分后得出结果。该数值亦符合组合数的对称性性质 $\binom{8}{3} = \binom{8}{5}$，进一步佐证了计算路径的可靠性。

三、 递推关系验证

通过杨辉三角的构造法则（“肩上两数之和”）逐行展开，可直观核对目标数值：

• 第1行：1
• 第2行：1 1
• 第3行：1 2 1
• 第4行：1 3 3 1
• 第5行：1 4 6 4 1
• 第6行：1 5 10 10 5 1
• 第7行：1 6 15 20 15 6 1
• 第8行：1 7 21 35 35 21 7 1
• 第9行：1 8 28 56 70 56 28 8 1

观察第9行数据序列，第4个位置明确为56，与组合公式计算结果完全一致。递推验证排除了索引偏移或计算失误的可能性。

四、 结论

基于组合数学定义与逐行递推双重验证，杨辉三角第9行第4个数为 56。该结论严格遵循自然数索引惯例，适用于标准数学语境下的教学、考试及学术引用。若在实际应用中遇到行号起始定义差异（如计算机领域常以0为起始行），需相应调整参数索引，但本题按通用教育规范作答，结果确认为56。