可以使用深度优先搜索（DFS）算法来解决这个问题。首先，我们需要定义一个节点类来表示树的节点，包括节点的权值和颜色属性。

class Node {
    int value;
    boolean colored;
    
    public Node(int value) {
        this.value = value;
        this.colored = false;
    }
}

然后，我们可以定义一个递归的DFS函数来遍历树的节点，并计算可以染红的最大节点数。

class Solution {
    public int maxColoredNodes(Node[] nodes) {
        int maxColored = 0;
        for (int i = 0; i < nodes.length; i++) {
            if (!nodes[i].colored) {
                maxColored = Math.max(maxColored, dfs(nodes, i));
            }
        }
        return maxColored;
    }
    
    private int dfs(Node[] nodes, int index) {
        nodes[index].colored = true;
        int maxColored = 1;
        for (int i = 0; i < nodes.length; i++) {
            if (!nodes[i].colored && isPerfectSquare(nodes[index].value * nodes[i].value)) {
                maxColored += dfs(nodes, i);
            }
        }
        return maxColored;
    }
    
    private boolean isPerfectSquare(int num) {
        int sqrt = (int) Math.sqrt(num);
        return sqrt * sqrt == num;
    }
}

在主函数中，我们可以创建一棵树并调用maxColoredNodes方法来获取最大染红节点数。

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Node[] nodes = new Node[5];
        nodes[0] = new Node(1);
        nodes[1] = new Node(4);
        nodes[2] = new Node(9);
        nodes[3] = new Node(2);
        nodes[4] = new Node(3);
        
        Solution solution = new Solution();
        int maxColored = solution.maxColoredNodes(nodes);
        System.out.println("最大染红节点数：" + maxColored);
    }
}

这样，我们就可以得到最大染红节点数。请注意，这只是一个简单的示例，实际应用中可能需要根据具体情况进行调整。