根据题目描述，我们可以使用概率的方法来求解抽卡次数的期望。

设抽到一张当期5星卡的期望抽卡次数为E。根据题目描述，我们可以列出以下等式：

E = 1 + (1/2) E + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + ... + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + p * (1 + E)

其中，第一项1表示第一次抽卡，后面的每一项都表示触发大保底机制前的抽卡情况，最后一项p * (1 + E)表示触发大保底机制后的抽卡情况。

化简上述等式，得到：

E = 1 + (1/2) E + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + ... + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + p * (1 + E)

E = 1 + (1/2) E + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + ... + (1/2) (1 + E) + (1/2) (1 + E) + p + p * E

将等式中的重复项合并，得到：

E = 1 + (1/2) (E + 1 + E) + (1/2) (1 + E) + p + p * E

E = 1 + (1/2) (2E + 1) + (1/2) (1 + E) + p + p * E

E = 1 + E + 1/2 + 1/2 E + 1/2 + 1/2 E + p + p * E

E = 3/2 + 3/2 E + 2p + p E

将E移到等式左边，得到：

E - 3/2 E - p E = 3/2 + 2p

合并同类项，得到：

(1 - 3/2 - p) * E = 3/2 + 2p

化简，得到：

(1/2 - p) * E = 3/2 + 2p

E = (3/2 + 2p) / (1/2 - p)

所以，抽卡次数的期望为 (3/2 + 2p) / (1/2 - p)。