《电流相量与瞬时值的求解》

在交流电路的分析中，电流相量和瞬时值是两个非常重要的概念。它们之间存在着紧密的联系，通过一定的数学关系可以实现相互转换。这里我们已知电流相量 \(i=(5+j3)A\)，频率 \(f = 50Hz\)，需要求出 \(t\) 时刻电流的瞬时值。

首先，让我们来深入理解一下电流相量的含义。电流相量是一种用复数形式表示正弦交流电的方法，它将电流的大小和相位信息巧妙地结合在一起。在这个例子中，电流相量 \(i=(5+j3)A\)，其中实部为 5，虚部为 3。这代表着该交流电在复平面上的投影，其实部对应着与电压同相的分量，虚部则对应着与电压正交的分量。

接下来，我们要明确频率 \(f = 50Hz\) 的意义。频率是指单位时间内交流电变化的次数，它反映了交流电变化的快慢程度。在本题中，频率为 50Hz，意味着交流电每秒钟会完成 50 个完整的周期。

根据交流电的相关理论，我们知道正弦交流电的瞬时值表达式一般为 \(i = I_m \sin(\omega t + \varphi)\)，其中 \(I_m\) 是电流的最大值，\(\omega\) 是角频率，\(\varphi\) 是初相位。而角频率 \(\omega\) 与频率 \(f\) 的关系为 \(\omega = 2\pi f\)。

对于给定的电流相量 \(i=(5+j3)A\)，我们可以先求出其对应的最大值 \(I_m\)。最大值 \(I_m\) 等于电流相量的模，即 \(I_m=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{34}A\)。

然后，我们需要确定初相位 \(\varphi\)。根据电流相量的实部和虚部，我们可以利用三角函数的关系来求出初相位。设 \(\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{34}}\)，\(\sin\varphi = \frac{3}{\sqrt{34}}\)。

现在，我们可以将已知条件代入正弦交流电的瞬时值表达式中。角频率 \(\omega = 2\pi f = 2\pi \ imes 50 = 100\pi\) rad/s。于是，电流的瞬时值表达式可以写为：

\(i = I_m \sin(\omega t + \varphi)=\sqrt{34} \sin(100\pi t + \varphi)\)

进一步展开，利用三角函数的和差化积公式，可得：

\(i = \sqrt{34}[\sin(100\pi t)\cos\varphi + \cos(100\pi t)\sin\varphi]\)

将 \(\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{34}}\)，\(\sin\varphi = \frac{3}{\sqrt{34}}\) 代入上式，得到：

\(i = \sqrt{34}\left[\sin(100\pi t)\ imes\frac{5}{\sqrt{34}} + \cos(100\pi t)\ imes\frac{3}{\sqrt{34}}\right]\)

化简后可得：

\(i = 5\sin(100\pi t) + 3\cos(100\pi t)\)

再根据三角函数的诱导公式 \(\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})\)，可将上式进一步改写为：

\(i = 5\sin(100\pi t) + 3\sin(100\pi t + \frac{\pi}{2})\)

这就是我们所要求的 \(t\) 时刻电流的瞬时值表达式。它清晰地展示了电流在任意时刻 \(t\) 的大小和变化规律，体现了交流电的周期性和波动性。通过对电流相量和频率等参数的分析和计算，我们成功地推导出了电流的瞬时值表达式，这对于深入理解交流电路的特性和运行规律具有重要意义。