首先，我们需要生成一个模拟非周期信号。这里我们选择生成一个矩形脉冲信号。接下来，我们将使用 FFT 算法对信号进行频谱近似计算，并分析计算结果与理论频谱的差异。最后，我们将研究 FFT 分辨率对计算结果的影响。

1. 生成模拟非周期信号（矩形脉冲信号）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
amplitude = 1  # 幅度
width = 0.5  # 宽度占采样率的比例
sampling_rate = 1000  # 采样率
duration = 1  # 持续时间

# 生成时间序列
t = np.linspace(0, duration, sampling_rate * duration)

# 生成矩形脉冲信号
signal = np.zeros_like(t)
for i in range(len(t)):
    if (t[i] % (1 / width)) < (1 / width) / 2:
        signal[i] = amplitude

# 绘制信号
plt.figure()
plt.plot(t, signal)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Rectangular Pulse Signal')
plt.show()

2. 使用 FFT 算法进行频谱近似计算

from scipy.fft import fft

# 计算 FFT
signal_fft = fft(signal)
freqs = np.fft.fftfreq(len(signal), 1 / sampling_rate)

# 绘制频谱
plt.figure()
plt.plot(freqs, np.abs(signal_fft))
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('FFT Spectrum')
plt.show()

3. 比较计算的频谱结果与理论频谱的差异

理论上，矩形脉冲信号的频谱是离散的，只有中心频率处有值。通过观察上述 FFT 频谱图，我们可以看到计算结果与理论频谱基本一致。误差主要来自于 FFT 算法的有限长度和采样率的限制。

4. 研究不同 FFT 长度对计算结果的影响

# 改变 FFT 长度
fft_lengths = [64, 128, 256, 512, 1024]
for length in fft_lengths:
    signal_fft = fft(signal, n=length)
    freqs = np.fft.fftfreq(length, 1 / sampling_rate)
    
    plt.figure()
    plt.plot(freqs, np.abs(signal_fft))
    plt.xlabel('Frequency (Hz)')
    plt.ylabel('Amplitude')
    plt.title(f'FFT Spectrum with Length {length}')
    plt.show()

通过观察不同 FFT 长度下的频谱图，我们可以发现随着 FFT 长度的增加，频谱分辨率逐渐提高，但同时也会增加计算量。因此，选择合适的 FFT 长度非常重要。